Magische Quadrate zählen
Obwohl viele Probleme im Umkreis magischer Quadrate seit langer Zeit gelöst sind, gibt es noch einige hartnäckige offene Fragen. So ist z.B. die Anzahl magische Quadrate sechster oder höherer Ordnung nicht bekannt.
Betrachten wir die einzelnen Ordnungen etwas genauer. Es gibt genau ein magisches Quadrat dritter Ordnung, obwohl es durch Spiegelungen und Drehungen in acht verschiedenen Formen auftreten kann. Dagegen gibt es bereits 880 magische Quadrate vierter Ordnung, die wiederum durch Spiegelungen und Drehungen in 7040 verschiedenen Formen auftreten können.
Ab der 5. Ordnung wird es nun wirklich kompliziert. Schauen wir uns das folgende magische Quadrat an, welches mit der Methode von de la Loubère konstruiert wurde. Für die weitere Bearbeitung vermindern wir alle Werte um 1.
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17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 -
16 23 0 7 14 22 4 6 13 15 3 5 12 19 21 9 11 18 20 2 10 17 24 1 8
Nun machen wir es scheinbar kompliziert und stellen alle Zahlen im Fünfersystem dar. Dies macht jetzt keinerlei Probleme mehr, da alle Zahlen durch die Subtraktion im Bereich von 0 bis 24 liegen und damit mit zwei Ziffern darzustellen sind.
Zur besseren Übersicht haben wir die Zahlen zusätzlich noch etwas anders dargestellt: die Fünferziffern haben wir als Großbuchstaben und die Einerziffern als Kleinbuchstaben geschrieben. So kann man die verschiedenen Bedeutungen der Ziffern besser unterscheiden.
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31 43 0 12 24 42 4 11 23 30 3 10 22 34 41 14 21 33 40 2 20 32 44 1 13 -
Db Ed Aa Bc Ce Ec Ae Bb Cd Da Ad Ba Cc De Eb Be Cb Dd Ea Ac Ca Dc Ee Ab Bd
Mit den folgenden Werten haben wir unser Quadrat erhalten, wobei wir natürlich rückwärts gerechnet wieder alle Werte um 1 erhöhen müssen.
| A | B | C | D | E | a | b | c | d | e |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Es hätten aber auch ganz andere Werte eingesetzt werden können, da die magische Eigenschaft nicht auf speziellen Zahlenwerten basiert, sondern auf der vorhandenen symmetrischen Anordnung der Groß- und Kleinbuchstaben. Machen wir uns klar, welche unterschiedlichen Entscheidungen wir treffen können.
- Den Kleinbuchstaben können wir jede beliebige Einerziffer aus dem Fünfersystem zuordnen. Damit haben wir für a insgesamt 5 Möglichkeiten. Wenn a festgelegt ist, bleiben für b noch 4 Möglichkeiten, für c noch 3 usw. Insgesamt ergeben sich m1=120 Möglichkeiten für die Belegung der Kleinbuchstaben.
m1=5 · 4 · 3 · 2 · 1=5!=120
- Die Großbuchstaben entsprechen im Fünfersystem den Fünferwerten und können mit einem der Werte 0, 5, 10, … , 5(n-1) belegt werden. Allerdings ist C auf der Hauptdiagonalen fünfmal vertreten. Soll sich als Summe die magische Konstante ergeben, kann C nicht frei gewählt werden, sondern muss mit dem Mittelwert C=10 belegt werden. Alle anderen Buchstaben können aber wegen der symmetrischen Anordnung beliebig gewählt werden. Für A gibt es damit noch 4 Möglichkeiten, danach für B noch drei usw. Für die Belegung der Großbuchstaben haben wir damit m2=24 Möglichkeiten.
m2=4 · 3 · 2 · 1=4!=24
Insgesamt ergeben sich damit für diese Methode 2880 verschiedene magische Quadrate.
m= m1 · m2= 120 · 24=2880
Bei genauerer Untersuchung stellt man aber fest, dass von diesen 2880 magischen Quadraten nur 720 wirklich verschieden sind. Alle anderen lassen sich durch Drehungen und Spiegelungen aus ihnen erzeugen.
Bachet stellte eine Konstruktion vor, die andere 720 magische Quadrate liefert. Mit den anderen Verallgemeinerungen der Methode von Loubère lassen sich wieder andere Quadrate erzeugen. Frühzeitig hat man schon nachgewiesen, dass die Zahl der magischen Quadrate 5. Ordnung mit Sicherheit 13 Millionen übersteigen muss.