JavaScript-Fehler

Hinweis: Zum Betrachten der Seiten wird JavaScript vorausgesetzt, da u.a. sonst das Menü und die Verfahren zur Erzeugung magischer Quadrate nicht funktionieren.

Falls Sie kein Freund von einem allgemeinen Einsatz von JavaScript sein sollten, können Sie es auch ganz leicht und ohne Risiko dennoch nur für einzelne Webseiten wie diese aktivieren. Hier finden Sie die Anleitung, wie Sie JavaScript in Ihrem Browser einschalten.

Shen: reguläre und spezielle Muster

Ching Tseng Shen geht bei seiner Methode von einem Quadrat in natürlicher Anordnung aus, bei dem er dann ⁿ/₄ Paare von horizontal symmetrisch liegenden Spalten und ebenso viele vertikal symmetrisch liegende Zeilen umkehrt. Damit entspricht dieses Verfahren dem Verfahren der Umkehrungen, dass schon Planck beschrieben hat.

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

Zur Verdeutlichung kennzeichnet Shen die unveränderten Zeilen mit l und die umgekehrten mit r, sowie die normalen Spalten mit t und die umgekehrten mit b.

8 7 6 5 4 3 2 1 r
9 10 11 12 13 14 15 16 l
24 23 22 21 20 19 18 17 r
25 26 27 28 29 30 31 32 l
33 34 35 36 37 38 39 40 l
48 47 46 45 44 43 42 41 r
49 50 51 52 53 54 55 56 l
64 63 62 61 60 59 58 57 r
t b t b b t b t
8 63 6 61 60 3 58 1 r
9 50 11 52 53 14 55 16 l
24 47 22 45 44 19 42 17 r
25 34 27 36 37 30 39 32 l
33 26 35 28 29 38 31 40 l
48 23 46 21 20 43 18 41 r
49 10 51 12 13 54 15 56 l
64 7 62 5 4 59 2 57 r
t b t b b t b t

Shen führt dann aus, dass es für n=4 genau zwei dieser symmetrischen Muster gibt, die er regulär nennt, nämlich lrrl und rllr. Für n=8 existieren dagegen bereits sechs dieser Muster.

llrrrrll	lrrllrrl	rlrllrlr
lrlrrlrl	rllrrllr	rrllllrr

Und für n=12 sind es bereits 20 Muster.

lllrrrrrrlll	lrlrlrrlrlrl	rlllrrrrlllr	rlrrllllrrlr
llrlrrrrlrll	lrlrrllrrlrl	rllrlrrlrllr	rrlllrrlllrr
llrrlrrlrrll	lrrllrrllrrl	rllrrllrrllr	rrllrllrllrr
llrrrllrrrll	lrrlrllrlrrl	rlrllrrllrlr	rrlrllllrlrr
lrllrrrrllrl	lrrrllllrrrl	rlrlrllrlrlr	rrrllllllrrr

Diese regulären Muster kann man entsprechend auf die Spalten übertragen, wobei die Kennzeichnungen lr für die Zeilen dabei natürlich durch tb ersetzt werden.

Jede beliebige Kombination dieser regulären Muster erzeugt ein magische Quadrat, wobei es keine Rolle spielt, ob zuerst die Zeilen und dann die Spalten entsprechend ihren Kennzeichnungen umgekehrt werden oder umgekehrt. Die entstehenden magische Quadrate sind unabhängig von der Reihenfolge der Vertauschungen stets identisch.

Spezielle Muster

Shen geht aber einen Schritt weiter und führt zusätzlich spezielle Muster ein. Diese setzen sich aus beliebigen regulären Mustern niedrigerer Ordnungen zusammen und sind damit natürlich nicht mehr symmetrisch angeordnet. Für n=12 gibt es z.B. folgende 20 spezielle Muster für die Zeilen:

llrrrrlllrrl	rrllllrrlrrl	lrrllrlrrlrl	lrrlrlrllrlr
rrllllrrrllr	rllrllrrrrll	rllrrlrllrlr	lrrllrrlrllr
lrrlllrrrrll	lrrlrrllllrr	lrlrrlrlrllr	rllrrllrlrrl
rllrrrllllrr	lrlrrlrllrrl	rlrllrlrlrrl	rllrlrrllrrl
llrrrrllrllr	rlrllrlrrllr	rllrlrlrrlrl	lrrlrllrrllr

Mit den regulären und speziellen Mustern lassen sich jetzt weitere magische Quadrate erzeugen, wobei die Reihenfolge der Vertauschungen hier wichtig ist.

Wähle ein reguläres Muster für die Zeilen und ein spezielles Muster für die Spalten und kehre zuerst die Zeilen um und danach die Spalten um.
Wähle ein spezielles Muster für die Spalten und ein reguläres Muster für die Spalten und kehre zuerst die Spalten um und erst danach die Zeilen um.

Ein solches Beispiel mit einem regulären Muster für die Zeilen und einem speziellen Muster für die Spalten ist in der folgenden Abbildung für ein Quadrat der Ordnung 12 dargestellt. Hier werden zuerst die Zeilen

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	l
24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	r
25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	l
37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	l
60	59	58	57	56	55	54	53	52	51	50	49	r
72	71	70	69	68	67	66	65	64	63	62	61	r
84	83	82	81	80	79	78	77	76	75	74	73	r
96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	r
97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	l
109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	l
132	131	130	129	128	127	126	125	124	123	122	121	r
133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

und danach die Spalten umgekehrt und es entsteht ein magisches Quadrat.

133	2	135	4	5	138	7	140	141	10	11	144	l
132	23	130	21	20	127	18	125	124	15	14	121	r
109	26	111	28	29	114	31	116	117	34	35	120	l
97	38	99	40	41	102	43	104	105	46	47	108	l
96	59	94	57	56	91	54	89	88	51	50	85	r
84	71	82	69	68	79	66	77	76	63	62	73	r
72	83	70	81	80	67	78	65	64	75	74	61	r
60	95	58	93	92	55	90	53	52	87	86	49	r
37	98	39	100	101	42	103	44	45	106	107	48	l
25	110	27	112	113	30	115	32	33	118	119	36	l
24	131	22	129	128	19	126	17	16	123	122	13	r
1	134	3	136	137	6	139	8	9	142	143	12	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

8	7	6	5	4	3	2	1	r
9	10	11	12	13	14	15	16	l
24	23	22	21	20	19	18	17	r
25	26	27	28	29	30	31	32	l
33	34	35	36	37	38	39	40	l
48	47	46	45	44	43	42	41	r
49	50	51	52	53	54	55	56	l
64	63	62	61	60	59	58	57	r
t	b	t	b	b	t	b	t

8	63	6	61	60	3	58	1	r
9	50	11	52	53	14	55	16	l
24	47	22	45	44	19	42	17	r
25	34	27	36	37	30	39	32	l
33	26	35	28	29	38	31	40	l
48	23	46	21	20	43	18	41	r
49	10	51	12	13	54	15	56	l
64	7	62	5	4	59	2	57	r
t	b	t	b	b	t	b	t

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	l
24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	r
25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	l
37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	l
60	59	58	57	56	55	54	53	52	51	50	49	r
72	71	70	69	68	67	66	65	64	63	62	61	r
84	83	82	81	80	79	78	77	76	75	74	73	r
96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	r
97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	l
109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	l
132	131	130	129	128	127	126	125	124	123	122	121	r
133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

133	2	135	4	5	138	7	140	141	10	11	144	l
132	23	130	21	20	127	18	125	124	15	14	121	r
109	26	111	28	29	114	31	116	117	34	35	120	l
97	38	99	40	41	102	43	104	105	46	47	108	l
96	59	94	57	56	91	54	89	88	51	50	85	r
84	71	82	69	68	79	66	77	76	63	62	73	r
72	83	70	81	80	67	78	65	64	75	74	61	r
60	95	58	93	92	55	90	53	52	87	86	49	r
37	98	39	100	101	42	103	44	45	106	107	48	l
25	110	27	112	113	30	115	32	33	118	119	36	l
24	131	22	129	128	19	126	17	16	123	122	13	r
1	134	3	136	137	6	139	8	9	142	143	12	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

8	7	6	5	4	3	2	1	r
9	10	11	12	13	14	15	16	l
24	23	22	21	20	19	18	17	r
25	26	27	28	29	30	31	32	l
33	34	35	36	37	38	39	40	l
48	47	46	45	44	43	42	41	r
49	50	51	52	53	54	55	56	l
64	63	62	61	60	59	58	57	r
t	b	t	b	b	t	b	t

8	63	6	61	60	3	58	1	r
9	50	11	52	53	14	55	16	l
24	47	22	45	44	19	42	17	r
25	34	27	36	37	30	39	32	l
33	26	35	28	29	38	31	40	l
48	23	46	21	20	43	18	41	r
49	10	51	12	13	54	15	56	l
64	7	62	5	4	59	2	57	r
t	b	t	b	b	t	b	t

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	l
24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	r
25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	l
37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	l
60	59	58	57	56	55	54	53	52	51	50	49	r
72	71	70	69	68	67	66	65	64	63	62	61	r
84	83	82	81	80	79	78	77	76	75	74	73	r
96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	r
97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	l
109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	l
132	131	130	129	128	127	126	125	124	123	122	121	r
133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

133	2	135	4	5	138	7	140	141	10	11	144	l
132	23	130	21	20	127	18	125	124	15	14	121	r
109	26	111	28	29	114	31	116	117	34	35	120	l
97	38	99	40	41	102	43	104	105	46	47	108	l
96	59	94	57	56	91	54	89	88	51	50	85	r
84	71	82	69	68	79	66	77	76	63	62	73	r
72	83	70	81	80	67	78	65	64	75	74	61	r
60	95	58	93	92	55	90	53	52	87	86	49	r
37	98	39	100	101	42	103	44	45	106	107	48	l
25	110	27	112	113	30	115	32	33	118	119	36	l
24	131	22	129	128	19	126	17	16	123	122	13	r
1	134	3	136	137	6	139	8	9	142	143	12	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

8	7	6	5	4	3	2	1	r
9	10	11	12	13	14	15	16	l
24	23	22	21	20	19	18	17	r
25	26	27	28	29	30	31	32	l
33	34	35	36	37	38	39	40	l
48	47	46	45	44	43	42	41	r
49	50	51	52	53	54	55	56	l
64	63	62	61	60	59	58	57	r
t	b	t	b	b	t	b	t

8	63	6	61	60	3	58	1	r
9	50	11	52	53	14	55	16	l
24	47	22	45	44	19	42	17	r
25	34	27	36	37	30	39	32	l
33	26	35	28	29	38	31	40	l
48	23	46	21	20	43	18	41	r
49	10	51	12	13	54	15	56	l
64	7	62	5	4	59	2	57	r
t	b	t	b	b	t	b	t

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	l
24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	r
25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	l
37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	l
60	59	58	57	56	55	54	53	52	51	50	49	r
72	71	70	69	68	67	66	65	64	63	62	61	r
84	83	82	81	80	79	78	77	76	75	74	73	r
96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	r
97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	l
109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	l
132	131	130	129	128	127	126	125	124	123	122	121	r
133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b

133	2	135	4	5	138	7	140	141	10	11	144	l
132	23	130	21	20	127	18	125	124	15	14	121	r
109	26	111	28	29	114	31	116	117	34	35	120	l
97	38	99	40	41	102	43	104	105	46	47	108	l
96	59	94	57	56	91	54	89	88	51	50	85	r
84	71	82	69	68	79	66	77	76	63	62	73	r
72	83	70	81	80	67	78	65	64	75	74	61	r
60	95	58	93	92	55	90	53	52	87	86	49	r
37	98	39	100	101	42	103	44	45	106	107	48	l
25	110	27	112	113	30	115	32	33	118	119	36	l
24	131	22	129	128	19	126	17	16	123	122	13	r
1	134	3	136	137	6	139	8	9	142	143	12	l
b	t	b	t	t	b	t	b	b	t	t	b