De la Hire

Philippe de la Hire beschreibt in einem 1705 erschienenen Artikel einige Verfahren, die aus zwei Hilfsquadraten ein magisches Quadrat der Ordnung n=4k erzeugen.

Im ersten Hilfsquadrat füllt er die erste Hälfte der oberen Zeile mit einer beliebigen Zahl z aus dem Bereich von 1 bis n, die zweite Hälfte mit ihrer zu n+1 komplementären Zahl n+1 − z. In der Zeile darunter vertauscht er dann die beiden Hälften. So verfährt er auch mit den verbliebenen Zahlen in den weiteren Zeilenpaaren, bis das gesamte Hilfsquadrat gefüllt ist.

Das zweite Hilfsquadrat wird dagegen mit leicht veränderten Zahlen spaltenweise aufgebaut. Jetzt wird die obere Hälfte mit einer beliebigen Zahl z aus dem Bereich von 0 bis n − 1 gefüllt und die untere mit ihrer komplementären Zahl, die bei dem jetzt veränderten Zahlenbereich n − 1 − z lautet, da der Zahlenbereich hier bei 0 beginnt. In der nächsten Spalten werden die beiden Hälften vertauscht. Nach diesem Schema werden dann alle weiteren Spaltenpaare wie in der rechten Abbildung mit den restlichen Zahlen gefüllt.

  • 88881111
    11118888
    55554444
    44445555
    77772222
    22227777
    66663333
    33336666
  • 70615243
    70615243
    70615243
    70615243
    07162534
    07162534
    07162534
    07162534

Die Zahlen des zweiten Hilfsquadrates werden nun mit 8 multipliziert und zu den Zahlen des ersten Hilfsquadrates addiert. Als Ergebnis erhält man ein magisches Quadrat.

648561641173325
57149948244032
615531344203628
604521245213729
763155518422634
258105023473139
662145419432735
359115122463038

Selbstverständlich kann man die Rolle der beiden Hilfsquadrate natürlich auch vertauschen. Dort sind die Zeilen des ersten Hilfsquadrat mit den Zahlen von 0 bis n-1 gefüllt worden, die Zeilen des zweiten Hilfsquadrates dagegen mit den Zahlen von 1 bis n.

  • 66661111
    11116666
    44443333
    33334444
    77770000
    00007777
    55552222
    22225555
  • 63815472
    63815472
    63815472
    63815472
    36184527
    36184527
    36184527
    36184527

Jetzt müssen natürlich alle Zahlen des ersten Hilfsquadrates mit n=8 multipliziert werden, bevor die Zahlen des zweiten Hilfsquadrates addiert werden. Das Ergebnis dieses Vorgehens ist das folgende magische Quadrat.

5451564913121510
141116953525550
3835403329283126
3027322537363934
596257644527
361860615863
4346414820211823
1922172444454247

In dem PDF-Dokument finden Sie zu diesem Verfahren weitere Varianten.