Bachet – Labosne

Die Methode von Bachet und Labosne arbeitet mit zwei Hilfsquadraten. In einem ersten Schritt werden die beiden Diagonalen des ersten Hilfsquadrates von links nach rechts mit den Zahlen 1 bis n in aufsteigender Folge gefüllt. Danach werden die Spalten der linken Hälfte mit den Zahlen, die sich dort bereits befinden und ihren zu n+1 komplementären Zahlen aufgefüllt. Dabei muss jede der beiden möglichen Zahlen genau m=n/2 mal auftreten.

Wenn alle Spalten der linken Hälfte gefüllt sind, werden abschließend die horizontal symmetrisch liegenden Zellen der rechten Hälfte mit den komplementären Zahlen gefüllt.

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    25
    34
    34
    25
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  • 1246
    6245
    1534
    6534
    6235
    1546
  • 124356
    624351
    153426
    653421
    623451
    154326

Im zweiten Hilfsquadrat wird zunächst die Nebendiagonale von links oben nach rechts unten mit den Zahlen 0, n, 2n, … , (n-1) · n gefüllt. Im Beispiel der Ordnung n=6 wären dies also die Zahlen 0, 6, 12, 18, 24 und 30. Auf der Hauptdiagonalen werden dagegen die Zahlen von links unten nach rechts oben in umgekehrter Reihenfolge eingetragen.

Ähnlich dem Vorgehen bei den Spalten im ersten Hilfsquadrat werden jetzt die unteren m Zeilen mit den bereits vorhandenen Zahlen und ihren zu (n-1) · n komplementären Zahlen so aufgefüllt, dass jede der beiden möglichen Zahlen genau m mal vertreten ist.

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    66
    1212
    1818
    2424
    3030
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    66
    1212
    121818181212
    624662424
    300300030

Allerdings gilt es dabei eine Zusatzregel zu beachten: wenn in einer Zeile des ersten Hilfsquadrates zwei horizontal symmetrische Zahlen komplementär bezüglich n+1 zu ihren vertikal symmetrisch liegenden Zahlen sind, müssen in die betreffende Zeile des zweiten Hilfsquadrates die gleichen Zahlen und in die hierzu symmetrisch liegende Zeile die dazu komplementären Zahlen eingetragen werden.

Beispielsweise befinden sich in der unteren Zeile des ersten Hilfsquadrates die Zahlen 5 und 2 und in den symmetrisch liegenden Zellen der oberen Zeile die komplementären Zahlen 2 und 5. Hier greift jetzt die Sonderregel und in die beiden Zellen der unteren Zeile muss die gleiche Zahl eingetragen werden. Obwohl für diese Zeile prinzipiell die beiden Zahlen 0 und 30 zur Auswahl stehen, muss man in diesem Fall die Zahl 0 eintragen, da sonst die Zahl 30 zu oft auftreten würde.

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    624351
    153426
    653421
    623451
    154326
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    1212
    1818
    2424
    300030

Zwei weitere Fälle der Sonderregel treten in den beiden mittleren Spalten der zweiten Zeile von unten und in den beiden äußeren Spalten der Zeile darüber auf. Auch hier müssen gleiche Zahlen in die jeweiligen Zeilen eingetragen werden. Das Ergebnis unter Anwendung der Sonderregel ist in den folgenden Abbildungen dargestellt.

  • 124356
    624351
    153426
    653421
    623451
    154326
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    1212
    1818
    246624
    300030
  • 124356
    624351
    153426
    653421
    623451
    154326
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    66
    1212
    12181812
    246624
    300030

Bei der Ordnung n=6 hat man durch die zwei bereits auf den Diagonalen eingetragenen Zahlen keine Auswahl, welche Zahlen bei der Sonderregel in die Zeile eingetragen werden sollen. Bei höheren Ordnungen besitzt man dann aber mehrere Möglichkeiten.

Wenn die untere Hälfte der Zeilen gefüllt sind, werden die vertikal symmetrisch liegenden Zellen mit den bezüglich (n-1) · n komplementären Zahlen gefüllt.

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    66
    1212
    121818181212
    624662424
    300300030
  • 030030300
    246242466
    181212121818
    121818181212
    624662424
    300300030

Abschließend müssen die zwei Hilfsquadrate nur noch zu einem magischen Quadrat zusammengesetzt werden. Durch die besondere Wahl der Zahlen in den beiden Hilfsquadraten reicht es, die entsprechenden Zellen einfach zu addieren und es entsteht ein magisches Quadrat.

  • 124356
    624351
    153426
    653421
    623451
    154326
  • 030030300
    246242466
    181212121818
    121818181212
    624662424
    300300030
  • 132433356
    3082827117
    191715162024
    182321221413
    12269102925
    315343236

Im PDF-Dokument ist diese Konstruktion zusätzlich für die Ordnung n=10 dargestellt.