Shen:   reguläre und spezielle Muster

Shen baut sein Konstruktionsverfahren für einfach-gerade magische Quadrate auf den regulären Mustern auf, die im Abschnitt für doppelt-gerade Quadrate vorgestellt werden. Er benutzt dabei Muster für Quadrate der Größe n−2, welche er für die mittleren beiden Zeilen um lr oder rl und für die mittleren beiden Spalten um tb oder bt ergänzt. Durch die jetzt fehlende Symmetrie muss die magische Eigenschaft jetzt durch zusätzliche Vertauschungen hergestellt werden, was auf vielfache Art und Weise zu erreichen ist.

Das Einfügen der zusätzlichen Muster für die mittleren Zeilen und Spalten reduziert dabei die Vertauschungen auf ein Minimum und bietet gleichzeitig auch die Möglichkeit, das Vorgehen algorithmisch festzulegen. Das entsprechende Konstruktionsverfahren ist bei den Konstruktionen implementiert worden.

Shen beginnt wie immer mit einem Quadrat in natürlicher Anordnung und kehrt dann einzelne Zeilen und Spalten gemäß den regulären Mustern um.

Damit besitzen bereits alle Spalten- und Zeilensummen mit Ausnahme der beiden mittleren Zeilen die magische Summe 111. Diese beiden Zeilen haben die Summen 112 und 110, so dass ein Ausgleich erreicht werden kann, wenn man mit 18 und 19 zwei benachbarte Zahlen am Rand und zum Ausgleich auch den mittleren Block von vier Zahlen wie in der linken Abbildung vertikal vertauscht.

Jetzt besitzen alle Zeilen und Spalten die magische Summe 111 und es müssen nur noch die beiden Diagonalen angepasst werden, deren Summen mit 117 bzw. 105 um 6 zu groß bzw. zu klein sind. Dabei fällt auf, dass sich die Eckenpaare jeweils um 5 unterscheiden. Nun wird nur noch ein benachbartes Zahlenpaar gesucht, dass sich im Wert um 1 unterscheidet und dessen kleinere Zahl durch einen Tausch auf die Hauptdiagonale gebracht werden kann. Damit sich die Spaltensummen nicht ändern, wird zusätzlich ein weiteres benachbartes Paar mit entgegengesetzter Differenz wie in der rechten Abbildung getauscht.

Jetzt beträgt die Summe der Zahlen auf der Hauptdiagonalen 116 und die der Nebendiagonalen 106, so dass ein einfacher Tausch der beiden oberen Ecken diese Unterschiede ausgleicht. Damit sich jedoch auch die zugehörigen Spaltensummen nicht verändern, muss zum Ausgleich ein weiteres Zahlenpaar vertauscht werden. Damit entsteht das magische Quadrat der Ordnung n=6.

Beispiel n=10

Dieses Verfahren soll am Beispiel der Ordnung n=10 noch einmal dargestellt werden, um zu demonstrieren, wie mit wenigen Vertauschungen ein magisches Quadrat konstruiert werden kann. Zunächst werden in einem Quadrat mit natürlicher Anordnung der Zahlen einige Zeilen und Spalten gemäß den gewählten Mustern wie üblich umgekehrt.

Dieses Quadrat ist schon fast semimagisch, nur weichen die beiden mittleren Zeilen mit den Summen 506 bzw. 504 jeweils um 1 von der magischen Summe 505 ab. Dies kann mit dem Vertauschen zweier Zahlen am Rand ausgeglichen werden, ohne das dieses Mal ein zusätzlicher Ausgleich geschaffen werden muss.

Durch einen weiteren Tausch von Zahlenpaaren werden die Summen auf den beiden Diagonalen, die sich im Augenblick um den Wert 10 von der magischen Summe unterscheiden, um 1 vermindert bzw. erhöht.

Jetzt weichen die Diagonalen nur noch um den Wert 9 von der magischen Summe ab, so dass ein einfacher Tausch der beiden unteren Ecken diese Unterschiede ausgleicht. Damit sich jedoch auch die zugehörigen Spaltensummen nicht verändern, muss zum Ausgleich ein weiteres Zahlenpaar vertauscht werden. Damit entsteht das magische Quadrat der Ordnung n=10.