Al-Buni
Ein weiteres Verfahren arabischer Herkunft wurde um 1200 von Ahmad al-Buni veröffentlicht, der im heutigen Algerien lebte. Allerdings stammt es aber nicht von al-Buni selbst, der es nur in einer seiner Veröffentlichungen vorstellte. Um ein gerahmtes magischen Quadrat der Ordnung n=2k + 1 zu erzeugen, geht man in folgender Reihenfolge vor.
- Die ersten k ungeraden Zahlen werden in der linken Spalte eingetragen. Man beginnt oberhalb der linken unteren Ecke und trägt die Zahlen aufsteigend ein, wobei immer eine Zelle freigelassen wird.
- Ähnlich verfährt man mit den nächsten k ungeraden Zahlen. Man beginnt links neben der rechten oberen Ecke und trägt sie nach links ein, wobei wieder jeweils eine Zelle übersprungen wird.
- Jetzt folgen die geraden Zahlen. Man beginnt zwei Plätze oberhalb der rechten unteren Ecken, überspringt jeweils wieder eine Zelle und trägt k − 1 geraden zahlen nach oben ein.
- Die letzten k geraden Zahlen werden in die untere Zeile eingetragen. Man beginnt in der rechten unteren Ecke und trägt die Zahlen nach links ein. Wie bei den anderen Zahlensequenzen wird auch hier wieder jeweils eine Zelle übersprungen.
Abschließend werden die noch freien Felder mit den Komplementen der bereits eingetragenen Zahlen gefüllt. Dabei fällt allerdings auf, dass zwei Plätze der Umrandung frei bleiben. Es wurden ja auch nur 2n − 3 Zahlen eingetragen wurden und die linke untere sowie die rechte obere Ecke wurden nicht besetzt.
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15 13 11 9 7 6 5 4 3 2 1 14 12 10 8 -
74 15 68 13 70 11 72 9 7 75 76 6 5 77 78 4 3 79 80 2 1 81 67 14 69 12 71 10 73 8
Dieses Vorgehen wird jetzt für jede Umrandung von außen nach innen fortgeführt. Für den Rand des inneren Teilquadrates der Ordnung n=7 folgt damit
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74 15 68 13 70 11 72 9 7 26 24 22 75 76 20 6 5 19 77 78 18 4 3 17 79 80 16 2 1 25 23 21 81 67 14 69 12 71 10 73 8 -
74 15 68 13 70 11 72 9 7 61 26 57 24 59 22 75 76 20 62 6 5 63 19 77 78 18 64 4 3 65 17 79 80 16 66 2 1 56 25 58 23 60 21 81 67 14 69 12 71 10 73 8
Entsprechend verfährt man mit den restlichen Umrandungen und man erkennt, dass die alle Felder der Hauptdiagonalen frei geblieben sind. Diese werden nun von rechts oben nach links unten mit den noch nicht eingetragen Zahlen gefüllt, bis schließlich das vollständige fortgesetzt konzentrische magische Quadrat entstanden ist.
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74 15 68 13 70 11 72 9 37 7 61 26 57 24 59 22 38 75 76 20 52 33 50 31 39 62 6 5 63 29 47 36 40 53 19 77 78 18 54 34 41 48 28 64 4 3 65 27 42 46 35 55 17 79 80 16 43 49 32 51 30 66 2 1 44 56 25 58 23 60 21 81 45 67 14 69 12 71 10 73 8 -
74 15 68 13 70 11 72 9 37 7 61 26 57 24 59 22 38 75 76 20 52 33 50 31 39 62 6 5 63 29 47 36 40 53 19 77 78 18 54 34 41 48 28 64 4 3 65 27 42 46 35 55 17 79 80 16 43 49 32 51 30 66 2 1 44 56 25 58 23 60 21 81 45 67 14 69 12 71 10 73 8
Dieses Verfahren funktioniert für alle ungeraden Ordnungen. Zwei weitere Beispiele sind für n = 5 und n = 7 dargestellt.
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22 7 20 5 11 3 17 10 12 23 24 8 13 18 2 1 14 16 9 25 15 19 6 21 4 -
44 11 40 9 42 7 22 5 35 18 33 16 23 45 46 14 30 21 24 36 4 3 37 19 25 31 13 47 48 12 26 29 20 38 2 1 27 32 17 34 15 49 28 39 10 41 8 43 6