Seki

Der japanische Mathematiker Takakazu Seki (1642 - 1708) entwarf ein Verfahren, mit dem fortgesetzt gerahmte magische Quadrate ungerader Ordnung erstellt werden können. Das Verfahren soll am Beispiel n=9 erläutert werden. Mit n=2k+1 folgt hieraus k=4.

Der gesamte äußere Rahmen umfasst insgesamt 4 · (n − 1) Zahlen. Damit ergeben sich in diesem Beispiel 2n − 2=16 Zahlen sowie ihre Komplemente, die zunächst geeignet in der Umrandung platziert werden müssen. Seki geht folgendermaßen vor:

  • 7651
    8
    4
    3
    2
  • 7651
    1270
    1171
    1072
    973
    8
    4
    3
    161514132

Damit ist der Rand eindeutig bestimmt und die noch freien Felder werden mit den komplementären Werten zu den bereits eingetragenen Zahlen gefüllt. Wie üblich berechnet man die zu einer Zahl x komplementäre Zahl mit n2 + 1 − x. Dabei gilt:

80676869765166
1270
1171
1072
973
748
784
793
16151413767778812

Dieses Verfahren kann nun von außen nach innen fortgeführt werden. Das noch nicht ausgefüllte Teilquadrat der Ordnung 7 beinhaltet insgesamt 4 · (7 − 1)=24 Zellen, von denen die Hälfte wieder mit komplementären Zahlen aufgefüllt wird. Also sind 12 Zahlen im Bereich 17 … 28 samt ihren Komplementen zu platzieren.

  • 80676869765166
    1221201770
    112571
    102472
    92373
    74228
    78194
    79282726183
    16151413757677812
  • 80676869765166
    126455562120175470
    11255771
    10245872
    9235973
    7460228
    7863194
    79282726616265183
    16151413757677812

Entsprechend verfährt man mit den restlichen Teilquadraten, bis man schließlich das fortgesetzt gerahmte magische Quadrat von Seki erhält.

  • 80676869765166
    126455562120175470
    112552473129465771
    102434443742485872
    92333394143495973
    74605040453832228
    78633635515330194
    79282726616265183
    16151413757677812
  • 80676869765166
    126455562120175470
    112552473129465771
    102434443742485872
    92333394143495973
    74605040453832228
    78633635515330194
    79282726616265183
    16151413757677812

Mit diesem Verfahren von Seki können gerahmte magische Quadrate für alle ungeraden Ordnungen erzeugt werden. Zwei weitere Beispiele für n=5 und n=7 sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

  • 24193118
    61691420
    511131521
    221217104
    8723252
  • 48394054138
    9363115133041
    8182821263242
    7172325273343
    4434242922166
    4720193537143
    1211104546492